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Concurso de Primavera de Matemáticas. Taller Bachillerato

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1º. De las siguientes afirmaciones, ¿cuáles son verdaderas?

  • Existe un número primo que es par
  • El número 265 + 1 es primo
  • Existen enteros distintos m y n tales que m2 = n3
  • Algunas ecuaciones de 2º grado, con coeficientes enteros, no tienen soluciones reales
  • La ecuación cúbica x3 + x2 + 1 = 0 tiene una única solución real

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 Solución

 

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3º. El conjunto de los números 'a' para los que la desigualdad ax2 - 2x + a < 0 se verifica sea cual fuere el número real x, es:

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 Solución

 

4º. La tangente del argumento de cualquiera de las raíces cuadradas del complejo (3 + 4 i) es:

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5º. El perímetro de un cuadrado, expresado en cm, es el número 'p' y su área, expresada en cm2, es el número A. Si A = 2p, ¿cuál es el valor de p?

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6º. Un año es Año Santo Compostelano si el 25 de julio cae en domingo. ¿Cuántos años podrán pasar, como mínimo, entre dos Años Santos Compostelanos consecutivos?

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7º. Al copiar una multiplicación de dos números, David escribió un factor 54 en lugar de 45, siendo la respuesta 198 unidades mayor que la que tendría que haber obtenido. ¿Cuál es la respuesta correcta a esa multiplicación?

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8º. Si escribo 2003 en la forma 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + (n - 2) - (n - 1) + n, la suma de los dígitos (o cifras) de 'n' es:

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9º. Si a es solución de la ecuación x4 + x2 - 1 = 0, el valor de a 6 + 2 a 4 es:

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10º. Un coche de 3 m de longitud que viaja a 110 km/h adelanta a un camión de 17 m de longitud que va a 100 km/h. ¿Cuántos segundos tarda el coche en hacer el adelantamiento?

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11º. Si x = 11º, el valor de    [sen x + cos x]2 -  sen 2x   es:

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12º. Si la parábola    y = x2 + 8x + k   tiene su vértice en el eje de abscisas, el valor de 'k' es:

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13º. Después de las cinco de la mañana, ¿cuánto tiempo, expresado en horas, debe pasar para que la aguja de los minutos y la de las horas de un reloj formen entre sí, por primera vez, un ángulo recto?

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 Solución

 

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15º. En una clase de 25 estudiantes, el número de chicas inmigrantes excede en 6 al número de chicos inmigrantes. Si elegimos dos estudiantes al azar, la probabilidad de obtener un chico y una chica inmigrantes es (4/75). ¿Cuántos estudiantes de la clase son inmigrantes?

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16º. La parte real del complejo 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + (1 + i)4 + (1 + i)5 es:

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17º. Cada uno de los miembros de la familia de Luis tomó un día de desayuno café con leche, todos igual cantidad, aunque la proporción de café y leche variaba en cada taza.

Si Luis tomó un cuarto del total de la leche y un sexto del total del café, ¿cuántos miembros hay en la familia de Luis?.

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18º. Lanzamos tres dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números aparecidos en dos de ellos, coincida con el del otro dado?

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19º. El perímetro de un triángulo rectángulo es 40 cm y la suma de los cuadrados de sus lados es 578 cm2. ¿Cuál es, en cm, la longitud del lado más corto?

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20º. Si x, y, z son números positivos tales que xy = 24, xz = 48, yz = 72, la suma x + y + z es igual a:

&

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21º. La recta que pasa por los puntos (m, -9) y (7, m) tiene pendiente 'm'. ¿Cuánto vale m?

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22º. Un avión desciende al aterrizar con una inclinación del 12%, es decir, por cada 100 m que avanza en horizontal, desciende 12 m. Si vuela a 9 km de altura, ¿a cuántos km (en horizontal) de la toma de tierra debe iniciar el descenso?

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23º. Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre (x - 1) es 2 y entre (x + 1) es 4, el resto de la división de P(x) entre (x2 - 1) es:

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24º. Sabiendo que 9-x = 7, ¿cuál es el valor de 272x+1?

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25º. Si log representa el logaritmo decimal (base 10), el valor de

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26º.

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27º. Si log representa el logaritmo decimal (base 10), la suma:

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30º. Hay un teorema, teorema de Wilson, que asegura que si 'n' es un número primo, entonces n es un divisor de (n-1)! + 1.

Con la ayuda de este teorema puedes asegurar que el número  12! . 6!  +   12!  +   6!  +   1  tiene un divisor d que verifica:

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32º. ABCD es un rectángulo. El punto E es uno cualquiera del lado DC. Llamemos 'x' al área del triángulo AED, 'y' al área del triángulo BCE y 'z' al área del triángulo ABE. Si y2 = xz, el valor del cociente DE/EC es:

                    

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33º. En un triángulo rectángulo ABC se toma un punto D sobre la hipotenusa AC y resulta que el triángulo BCD tiene todos sus lados iguales a 1. ¿Cuánto mide AB?

 Solución

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34º. Si el perímetro del hexágono regular es de 12 cm, el área del triángulo equilátero ABC es en cm2:

                                 

                                                           

 Solución

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35º. Si

,

¿cuánto vale el producto abcdef?

 Solución

 

36º. Sean p y q dos números naturales tales que

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Demostrar que p es divisible por 1979

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37º. Hallar todos los números reales 'a' para los que existen números reales no negativos
(x1, x2, x3, x4, x5) que satisfacen las relaciones

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38º. Sean 'a' y 'b' dos enteros positivos. Cuando (a2 + b2) se divide por (a + b), el cociente es q, y el resto es r. Encontrar todos los pares (a, b) tales que q2 + r = 1977

 Solución

 

39º. Sea 1 £ r £ n y consideremos todos los subconjuntos de r elementos del conjunto
{1, 2, ... , n}. Cada uno de estos subconjuntos tiene un elemento mínimo. Sea F(n, r) la media aritmética de estos números mínimos; demostrar que

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40º. Cuando escribimos  44444444  en notación decimal, la suma de sus dígitos es A. Sea B la suma de los dígitos de A. Hallar la suma de los dígitos de B.

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43º. Probar que hay un único triángulo cuyos lados tienen por longitudes enteros consecutivos y uno de sus ángulos es doble del otro.

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44º. Encontrar todos los números naturales x tales que el producto de sus dígitos (en notación decimal) es igual a   x2 - 10x - 22

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 :

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51º. Hallar dos números naturales cuyo máximo común divisor es 8, y su mínimo común múltiplo 504.

 Solución

 

52º. Hallar un número que tiene 8 divisores sabiendo además que el producto de los mismos es 331776

 Solución

 

 Solución

 

54º. El diámetro de una moneda de 2 euros es de 37 mm y el de 1 euro es de 23 mm. ¿De cuántas maneras puede obtenerse la longitud de un metro, alineando monedas de 2 y de 1 euro?

 Solución

 

55º. Un coleccionista gasta 100 euros en comprar sellos de 1, 4 y 12 euros. ¿Cuántos ha comprado de cada clase si en total ha adquirido 40 sellos?.

 Solución

 

56º. Determinar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que sus lados miden un número entero de centímetros, pero no un número entero de palmos, y que su área se expresada en palmos cuadrados es igual a su perímetro expresado en palmos lineales. Un palmo equivale a 20 centímetros.

 Solución

 

57º. Hallar un número A = a b c d e f que en el sistema de numeración decimal tiene 6 cifras, y que multiplicado por 2, 3, 4, 5 y 6 da los números, b c d e f a, c d e f a b, d e f a b c, e f a b c d,
f a b c d e
, aunque no enunciados precisamente en este orden.

 Solución

 

58º. Hallar todos los naturales menores que 1000 que sean múltiplos de 28 y que divididos por 15 den de resto 9.

 Solución

 

59º. Hallar un número (a b c d) sabiendo que (a b c d) . (d c b a) = 10065627

 Solución

 

60º. Sean m y n números enteros distintos, de la expresión   n3. m - n. m3   sólo podemos asegurar que es un múltiplo de:

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62º. ¿Cuántos números abc, con c ¹ 0, hay de tres cifras tales que a b c - c b a = d e 7 ?

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63º. El valor máximo de 16xy cuando  x + 4y = 5  es:

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64º. El valor absoluto de la parte real de las raíces cuadradas del número complejo  21 + 20 i   es:

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65º. La mayor inclinación de la función  f(x) = x + sen x  en uno de sus puntos es:

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