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Albert Einstein |
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CONCURSO INTERCENTROS DE MATEMÁTICAS |
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Bases del Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid |
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1º. Podrán participar en el mismo todos los Centros de la Comunicad de Madrid, públicos, concertados o privados que impartan Enseñanza Secundara. |
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2º. Cada Centro participante lo hará con un equipo de 6 estudiantes, uno de los cuales será el capitán, entre los que deben figurar dos estudiantes del Iº ciclo de la ESO (1º - 2º), dos de IIº ciclo (3º - 4º) y dos estudiantes de Bachillerato. Si algún Centro lo estima conveniente. podría alterar esta distribución sustituyendo algún o algunos estudiantes por otros de nivel académico inferior, aunque en la prueba individual cada estudiante participará en el nivel correspondiente a su curso. |
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3º. La estructura de la prueba será la siguiente: |
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Prueba por Equipos |
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Se repartirán diez problemas a cada uno de los equipos participantes, que los resolverán conjuntamente. Se aconseja hacer subgrupos de uno o dos estudiantes que intentarían resolver tres o cuatro problemas. Una vez que un determinado subgrupo acabara los suyos, podría ayudar a sus compañeros en la resolución de los restantes. |
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La duración de esta prueba será de 45 minutos y la puntuación máxima de la misma será de 30 puntos. |
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Prueba Individual |
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Consistirá en la resolución de 5 problemas. Cada estudiante intentará resolver individualmente sus cinco problemas y la puntuación que obtenga - hasta 1 punto por problema - se añadirá a la puntuación del apartado anterior. Los problemas serán diferentes para cada uno de los tres niveles de que constará cada equipo. |
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La puntuación máxima de esta prueba será de 30 puntos y su duración de 1 hora 30 minutos. |
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Prueba por Relevos |
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Cada Centro formará dos equipos compuestos cada uno de ellos por un estudiante de cada uno de los tres niveles. |
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Cada uno de los seis estudiantes de un centro resolverá tres problemas; en dos de ellos algún dato será la respuesta de un problema de algún compañero que se lo pasará oportunamente. Todos los estudiantes tendrán un problema con todos los datos en su enunciado, otro con un dato que le llegará cuando un compañero resuelva el suyo correspondiente y otro con un dato que le llegará cuando sus dos compañeros hayan resuelto los suyos correspondientes. |
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Evidentemente, una parte importante del trabajo de cada problema - enfoque, planteamiento, etc. - podrá hacerse antes de recibir el dato que falta. |
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La puntuación máxima de esta prueba será de 30 puntos y su duración de 1 hora. |
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1º. Calcula el valor de la incógnita x en el sistema: |
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2º. En un cierto año N, el día 300 fue martes. Al año siguiente, (N+1), el día 200 también fue martes. ¿En qué día de la semana cayó el día 100 del año anterior, |
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Indicación: Puede ocurrir, o no, que alguno de los años (N-1), N, (N+1) sea un año bisiesto. |
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3º. Si |
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Calcula todos los valores de 'x' para los que |
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4º. Tres enteros positivos están en progresión aritmética. Si dividimos la suma de sus cubos entre su suma, el cociente es 81. Halla los números. |
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5º. Halla el área encerrada por la gráfica: |
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6º. Un triángulo isósceles de lados 5, 5, y 6, está inscrito en una circunferencia. Calcula el radio de ésta. |
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7º. Halla todos los números racionales m tales que |
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8º. En una progresión aritmética creciente, la diferencia es un número entero. Si el tercer término es 4 y para un cierto 'n' es |
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9º. Si x, y, z son números distintos y las ternas (x, y, z) y (x3, y3, z3) forman una progresión aritmética, calcula el número y |
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10º. Cuando ordenamos la media, la mediana y la moda del conjunto de números {10, 2, 5, 2, 4, 2, x} en orden creciente, se obtiene una progresión aritmética no constante. Calcula la suma de todos los valores posibles de x. |
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1º. A un número de 3 cifras le damos la vuelta, es decir, intercambiamos las cifras de las unidades y la de las centenas, resultando un número mayor, que multiplicado por el original, da 65125. ¿Cuál era el número original? |
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2º. El periodo de vida de una ballena es cuatro veces el de una cigüeña, la cual vive 85 años más que un conejillo de indias, que vive 6 años menos que un buey, el cual vive 9 años menos que un caballo, que vive 12 años más que un pollo, que vive 282 años menos que un elefante, que vive 283 años más que un perro, que vive 2 años más que un gato, que vive 135 años menos que una carpa, que vive el doble de un camello, que vive 1014 años menos que el total de los periodos de vida de todos estos animales. ¿Cuánto vive un caballo? |
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3º. Si el resto de las divisiones de 1059, 1417, y 2312 entre el entero 'd', mayor que 1, es siempre el mismo, calcula d. |
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4º. Encuentra todos los números enteros m y n tales que mn (m - n) = 45045. |
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5º. ¿Cuántos números hay que sean cuadrados perfectos y divisores de 7200?. |
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6º. Al intentar resolver la inecuación 4/(x-2) > 5 , copié mal el enunciado del problema y en lugar de 5 escribí otro entero positivo. Si mi respuesta a la inecuación fue 2 < x < 4, ¿cuál fue el entero positivo que puse en lugar de 5 en el enunciado? |
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7º. Calcular la probabilidad de que al tirar 3 dados idénticos (con caras de 1 a 6) se obtengan 3 enteros consecutivos. |
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8º. Determina todas las listas de 5 números que formen a la vez progresión aritmética y progresión geométrica. |
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9º. Si las raíces de la ecuación x2 + px + q = 0 son los cubos de las raíces de la ecuación x2 + mx + n = 0, expresa p y q en términos de m y n. |
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10º. En el triángulo ABC de área 20, AB = 6, BC = 9, BD es la bisectriz del ángulo B y M es el punto medio del segmento BD. Calcula el área del triángulo ABM.
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1º. El rectángulo PQRS está inscrito en el rectángulo ABCD como se indica en la figura (que no está hecha a escala). Si DR = 3, RP = 13 y PA = 8, calcula el área del rectángulo ABCD. |
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2º. A ambas orillas de un río de 40 metros de ancho hay dos palmeras, una frente a la otra. La altura de las palmeras son 8 y 12 metros. En la parte más alta de cada palmera se encuentran sendos pájaros que súbitamente descubren un pez en la superficie del agua entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y con la misma velocidad, alcanzando el pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del pié de la palmera más alta apareció el pez? |
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4º. Hay un único valor real de x para el que la mediana y la media aritmética de los cinco números 4, 2, 16, 6 y x son iguales. Calcula ese valor. |
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5º. En el cuadrado ABCD de la figura hemos trazado dos semicircunferencias exteriores, una con diámetro AB y otra con diámetro AD. El punto A divide al segmento PQ en dos segmentos de longitudes 7 y 23. Calcula la longitud de la diagonal del cuadrado. |
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1º. 1. En el cuadrado de la figura 1, de 100 cm de lado, el punto O es el centro del mismo y el área de la zona sombreada es la quinta parte del área del cuadrado. Calcular la longitud del segmento DE. |
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2º. Los hexágonos de la figura 2 son regulares. Calcula el cociente entre el área del hexágono pequeño y el área del grande. |
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3º. Las secantes CDE y EBA a la circunferencia de la figura, centrada en O, la cortan de forma que AB es un diámetro y CD una cuerda de dicha circunferencia. Si AB = 2 DE y el ángulo AEC es de 18º, calcula la medida del ángulo COA. (Recuerda: el vértice en la letra del medio) |
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4º. ¿Cuál es el mayor divisor de 214 - 1 distinto de él mismo? Solución  |
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5º. Calcula la suma de los 120 números de 5 cifras, no repetidas, que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5. Solución |
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