1º. Se escriben los números de 1 a 70 uno tras otro: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...... 69 70, y luego se borran cien cifras al azar. Se forma entonces un número escribiendo ordenadamente todas las cifras restantes.

Sabiendo que no empieza por cero, ¿cuál es el valor mínimo del número resultante?.

Solución 

2º. Rosa acaba de ganar un juego por televisión. Antes de saber cuánto puede ganar, tiene que responder a la siguiente pregunta: << Debe usted elegir su ganancia expresada en miles de euros, dentro de las siguientes opciones:

..........

>>

¿Qué respuesta debe dar Rosa para ganar más dinero?.

Solución 

3º. Una tortuga decide recorrer una pista de 100 metros de longitud. Recorre 10 metros cada día y descansa de noche. Mientras la tortuga descansa de noche, la pista se alarga 100 metros. Después de la primera noche, la tortuga se encuentra a 20 metros del punto de partida (la pista ha doblado su longitud), pero a 180 metros del punto de partida. Al término de la segunda jornada, el punto de partida dista 30 metros y el punto de llegada 170 metros. Durante la noche, la pista adquiere una longitud de 300 metros y la tortuga se encuentra a 45 metros y a 255 metros de la llegada, y así sucesivamente.

¿Llegará la tortuga al final de la pista?.

Solución 

4º. a) En el planeta Alfa, todos los años duran exactamente 365 días. Todos los países del planeta han adoptado un calendario con 28, 30 0 31 días. Pero dos países diferentes nunca tienen el mismo número de meses de 28 días, el mismo número de meses de 30 días y el mismo número de meses de 31 días. ¿Cuántos países, como máximo, hay en el planeta Alfa?.

4º. b) En el planeta vecino Beta, todos los años duran exactamente 366 días. Todos los países del planeta han adoptado un calendario con 29, 30 0 31 días. Pero dos países diferentes de Beta nunca tienen el mismo número de meses de 29 días, de meses de 30 días y de meses de 31 días. ¿Cuántos países, como máximo, hay en el planeta Beta?.

Solución 

5º. Se dice que dos casillas de un tablero de ajedrez son 'adyacentes' si tienen un lado común.

¿Cuál es el número mínimo de casillas en las que hay que colocar un peón para que toda casilla del tablero sea adyacente a una casilla prevista de peón?.

Solución 

6º. Unas hormigas se desplazan, unas tras otras, en línea recta, a velocidad constante, formando una columna de 50 cm de longitud. La última hormiga de la cola decide ir a abastecer a la hormiga jefe, a tal fin recorre toda la columna y luego, cumplida su misión, regresa a la cola de la columna, la cual, entre tanto, ha recorrido 50 centímetros. Durante el viaje de ida y vuelta, la velocidad de la hormiga se ha mantenido constante.

¿Cuál es la distancia recorrida por la hormiga?.

Solución 

7º. Diez personas están sentadas en torno a una mesa redonda. Se les distribuyen diez fichas al azar que llevan los números del 1 a 10.

Cada persona gana entonces una suma en euros igual a la suma del número de su propia ficha, de su vecino de la izquierda y de su vecino de la derecha.

¿Es posible que todos los jugadores logren una ganancia estrictamente inferior a 17 euros?.

¿Es posible que todos los jugadores logren una ganancia estrictamente inferior a 18 euros?.

Solución 

8º. El radio de acción (distancia máxima que puede ser recorrida sin avituallamiento) de un avión es de 1000 km. Los aviones en vuelo pueden intercambiar carburante casi instantáneamente y un avión con el depósito vacío puede posarse en vuelo planeando. Se puede considerar, para simplificar, que el consumo es proporcional a la distancia recorrida.

¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer un avión si parten siete aviones idénticos con los depósitos llenos?.

Solución 

9º. Veintiún niños y veintiuna niñas han participado en una competición matemática. Cada participante ha resuelto como máximo 6 problemas: << para cada niño y cada niña, un mismo problema, como mínimo, ha sido resuelto por cada uno de ellos. >>

Demostrar que existe un mismo problema, como mínimo, que ha sido resuelto por al menos tres niñas y tres niños.

Solución 

10º. Los cuadrados de 4, 34, 334, 3334, 33334, .... presentan una estructura sorprendente cuando se calcula su valor: 16, 1156, 111556, 11115556, 1111155556, .....

Hay otra sucesión de cuadrados que poseen exactamente la misma estructura. ¿Cuál es esta sucesión?.

Solución